Questão:
Pegue todo o CO2 da atmosfera e coloque-o em uma camada na superfície da terra. Qual seria a espessura dessa camada?
Nick H
2016-06-14 11:22:46 UTC
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Eu ensino um curso de geometria do Middle School (ano 8) e tenho um aluno tentando responder a essa pergunta. Minhas suposições:

  1. o raio da terra é $ 3959 \ text {mi} $
  2. a terra é uma esfera
  3. Há aproximadamente $ 3 \ cdot 10 ^ { 15} $ kg de CO 2 na atmosfera terrestre
  4. A densidade de CO 2 a 1atm é $ \ dfrac {1562 \ text {kg}} {\ text {metro cúbico}} $
  5. A conversão entre metros cúbicos e pés cúbicos é $ 1: 35,3147 $. E cu ft to cu mi é $ 5280 ^ 3: 1 $

Então, primeiro, com a suposição (3 e 4), podemos calcular o volume de CO 2 na atmosfera a ser $ \ approx 1,92 \ cdot 10 ^ {12} \ text {m} ^ 3 $ ou cerca de $ 369 \ text {cu mi} $ de CO 2 .

Então, agora podemos encontrar a espessura da camada resolvendo a equação

$ \ begin {align *} 369 & = \ dfrac {4 \ pi \ cdot (3959 + x) ^ 3} {3} - \ dfrac {4 \ pi (3959) ^ 3} {3} \\\ end {align *} $

Onde $ x $ é a espessura da camada de CO 2 na superfície da Terra em milhas.

$ \ begin {align *} 369 \ cdot \ dfrac {3} {4 \ pi} & = (3959 + x) ^ 3 - (3959 ) ^ 3 \\ [. 5pc] 369 \ cdot \ dfrac {3} {4 \ pi} + 3959 ^ 3 & = (3959 + x) ^ 3 \\ [. 5pc] \ sqrt [3] {369 \ cdot \ dfrac {3} {4 \ pi} + 3959 ^ 3} & = 3959 + x \\ [. 5pc] 3959.0000018746 & \ approx 3959 + x \\ [. 5pc] .00000018746 & \ aprox x \ end {alinhar * } $

Então, a camada de CO 2 na superfície da Terra seria $ \ aproximadamente 1,87 \ cdot 10 ^ {- 6} \ text {mi} $ ou $ .1187 \ text {in} $ em espessura. Que tem menos da metade da espessura de um iPhone 6.

Minha pergunta : Este resultado parece incrivelmente pequeno. Onde é que eu me enganei? Ou isso é razoável? Não tenho intuição e gostaria de uma segunda opinião!

Observe que [usamos unidades SI aqui] (http://meta.earthscience.stackexchange.com/q/318/100). Se você deve se referir a unidades antigas pitorescas, por favor, use as unidades SI como suas unidades primárias, e coloque o material arcaico entre parênteses depois. (oh, e você perdeu a unidade no raio da Terra)
userLTK está certo ... sua densidade de CO2 deve ser a mesma que a densidade do ar ao nível do mar ... que é 3 ordens de magnitude menor que o seu número.
Outra maneira de obter uma estimativa rápida, para verificar sua resposta, é estimar a espessura da atmosfera da Terra em algum nível arbitrário, digamos 100 mbars. A fração de dióxido de carbono está atualmente em cerca de 404 ppm, então converta isso para uma fração e multiplique por a espessura atmosférica. Obviamente, o CO2 é mais denso que o ar, portanto, você deve fazer uma correção de densidade. Você descobrirá que a resposta é muito maior do que você calculou. Além disso, 'EnergyNumbers' está correto. O mundo civilizado usa unidades SI!
@farrenthorpe Não tinha percebido que pegamos o número da densidade do CO2 como um sólido, mas acho que faz sentido que um metro cúbico não pesaria 1562 kg como um gás! Obrigado por apontar isso. Além disso, não percebi que as unidades SI eram um problema. Além disso, percebi que este era o lugar certo para fazer a pergunta e que alguém poderia estar interessado em responder. Mas talvez no local errado?
Eu acho que é apropriado encontrar a espessura do CO como um sólido. Se for um gás, como você o faz formar uma camada fina no fundo da atmosfera?
Dois respostas:
Nick H
2016-06-15 07:42:38 UTC
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Ok, com base nos comentários acima, é aqui que estou ...

  1. o raio da terra é $ 6371 \ text {km} $
  2. a terra é um esfera
  3. Há aproximadamente $ 3 \ cdot 10 ^ {15} $ kg de CO2 na atmosfera terrestre
  4. A densidade do CO2 a 1atm é $ \ dfrac {1.977 \ text {kg} } {\ text {m} ^ 3} $

Então, primeiro, com a suposição (3 e 4), podemos calcular o volume de CO2 na atmosfera em $ \ aprox. 1,52 \ cdot 10 ^ {15} \ text {m} ^ 3 $ ou $ 1,52 \ cdot 10 ^ 6 \ text {km} ^ 3 $.

Portanto, agora podemos encontrar a espessura da camada resolvendo a equação

$ \ begin {align *} 1,52 \ cdot 10 ^ 6 & = \ dfrac {4 \ pi \ cdot (6371 + x) ^ 3} {3} - \ dfrac {4 \ pi (6371) ^ 3} {3} \\\ end {align *} $

Onde $ x $ é a espessura da camada de CO2 na superfície da terra em km.

$ \ begin {align *} 1,52 \ cdot 10 ^ 6 \ text {km} ^ 3 & = \ dfrac {4 \ pi \ cdot (6371 + x) ^ 3} {3} - \ dfrac {4 \ pi (6371 ) ^ 3} {3} \\ [. 5pc] \ dfrac {3} {4 \ pi} \ cdot 1,52 \ cdot 10 ^ 6 \ text {km} ^ 3 & = (6371 + x) ^ 3 - 6371 ^ 3 \\\ dfrac {1,14 } {\ pi} \ cdot 10 ^ 6 \ text {km} ^ 3& = (6371 + x) ^ 3 - 6371 ^ 3 \\ 3,63 \ cdot 10 ^ 5 + 6371 ^ 3 \ text {km} ^ 3 & = (6371 + x) ^ 3 \\\ sqrt [3] {3,63 \ cdot 10 ^ 5 + 6371 ^ 3 \ text {km} ^ 3} & = 6371 + x \\ 6371.0029811 \ text {km} & \ aprox 6371 + x \\. 0029811 \ text {km} & \ approx x \ end {align *} $

Então, a camada de CO2 na superfície da Terra teria 2,98 metros de espessura ...

Isso está certo. No entanto, como você usou um valor de $ 3 \ cdot10 ^ {15} $ kg (um dígito significativo), você deve arredondar esse resultado final para 3 metros.
Uma abordagem alternativa é que o volume de uma casca esférica delgada de raio $ r $ e altura $ h $ é de aproximadamente $ 4 \ pi r ^ 2 h $, válido para $ h \ lll r $. Você pode ver isso expandindo $ \ frac43 \ pi (r + h) ^ 3 - \ frac 43 \ pi r ^ 3 = \ frac 43 \ pi (3r ^ 2h + 3rh ^ 2 + h ^ 3) = 4 \ pi r ^ 2h (1 + h / r + \ frac13 (h / r) ^ 2) \ aproximadamente 4 \ pi r ^ 2h $ para pequeno $ h $. Aproximação é algo que os alunos da 8ª série deveriam começar a aprender. O cálculo é muito mais simples com esta aproximação: $ (1,52 \ times10 ^ {15} \, \ text {m} ^ 3) / (4 \ pi \, (6371 \, \ text {km}) ^ 2) \ aprox 2,98 \, \ text {m} $
Observe também que o valor de densidade de 1.977 kg / m ^ 3 é um valor empírico que reflete a natureza não ideal do dióxido de carbono. Você obterá um valor ligeiramente diferente para a densidade de CO2 na temperatura e pressão padrão se usar a lei dos gases ideais. Não sei se seus alunos conhecem a lei do gás ideal. Se o fizerem, pode ser uma experiência de aprendizado melhor fazer com que eles calculem esse valor de densidade em vez de considerá-lo um dado. (Eles devem chegar a 1,963 kg / m ^ 3.)
Alguns comentários finais: Esse valor de $ 3 \ cdot 10 ^ {15} $ kg está um pouco desatualizado. A humanidade continuou a bombear CO2 para a atmosfera. O valor atual é de cerca de $ 3,16 \ cdot 10 ^ {15} $ kg. Finalmente, como professor, você deve anexar unidades a todos os seus cálculos. Os alunos regularmente fazem uma confusão de cálculos porque erram em suas unidades. É seu trabalho como professor mostrar a eles como não cometer esses erros.
@DavidHammen sim, você está certo sobre as unidades, Obrigado por mencionar a lei do gás também.
Keith McClary
2018-12-31 00:33:23 UTC
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Uma estimativa aproximada é a porção de CO2 na atmosfera (408 ppm) vezes a altura média ( 5,6 km), o que dá 2,3 m.



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