Questão:
Por que a Terra não é uma esfera?
WAF
2014-04-16 12:35:27 UTC
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Todos nós aprendemos na escola que a Terra é uma esfera. Na verdade, é mais quase uma esfera ligeiramente achatada - um elipsóide de revolução achatado, também chamado de esferóide achatado. Esta é uma elipse girada em torno de seu eixo mais curto. Quais são as razões físicas para esse fenômeno?

Acabei de criar um link para sua pergunta em [A “forma de pêra” da Terra é principalmente J₃?] (Https://space.stackexchange.com/q/45348/12102)
@Uhoh: Para uma visão mais detalhada sobre a forma da Terra, não perca a influência de convecção, número e força das correntes de convecção e camadas do manto, etc. Eu li recentemente sobre uma influência considerável, pelo menos ao longo escala de tempo geológico. Não me lembro onde, tho, ...
Trzy respostas:
#1
+22
Kenshin
2014-04-16 13:01:26 UTC
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Normalmente, na ausência de rotação, a ocupação natural da gravidade é puxar a Terra na forma de uma esfera.

No entanto, a Terra de fato incha no equador, e o diâmetro ao longo do o plano equatorial tem 42,72 km a mais do que o diâmetro de polo a polo.

Isso se deve à rotação da Terra.

enter image description here

Como podemos ver na imagem acima, o disco giratório parece protuberante nos pontos do disco mais distantes do eixo de rotação.

Isso ocorre porque para que as partículas do disco permaneçam em órbita, deve haver uma força para dentro, conhecida como força centrípeta, dada por:

$$ F = \ frac {mv ^ 2} {r}, $$

onde $ F $ é a força, $ m $ é a massa do corpo em rotação, $ v $ é a velocidade e $ r $ é a raio da partícula a partir do eixo de rotação.

Se o disco está girando a uma determinada velocidade angular, digamos $ \ omega $, então a velocidade tangencial $ v $ é dada por $ v = \ omega r $.

Portanto,

$$ F = m \ omega ^ 2r $$

Portanto, quanto maior o raio da partícula, mais força é necessária para manter tal órbita.

Portanto, as partículas na Terra perto do equador, que estão mais distantes do eixo de rotação, irão se projetar para fora porque requerem uma força interna maior para manter sua órbita.


Detalhes adicionais para um conhecimento mais matemático agora que o mathjax está habilitado:

A força líquida em um objeto girando ao redor do equador com um raio $ r $ ao redor de um planeta com uma força gravitacional de $ \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} $ é a força centrípeta dada por,

$$ F_ {net} = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - N = m \ omega ^ 2r, $$ onde $ N $ é a força normal.

Reorganizando a equação acima, obtém-se:

$$ N = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - m \ omega ^ 2r $$

A força normal aqui é a força descendente percebida que um corpo em rotação observa. A equação mostra que a força percebida para baixo é diminuída devido ao movimento centrípeto. O exemplo típico para ilustrar isso é que há uma aparência de gravidade 0 em um satélite orbitando a Terra, porque nesta situação a força centrípeta é exatamente equilibrada pela força gravitacional. Na Terra, entretanto, a força centrípeta é muito menor do que a força gravitacional, então percebemos quase toda a contribuição de $ mg $.

Agora, examinaremos como a força gravitacional percebida difere em diferentes ângulos de latitude. Deixe $ \ theta $ representar o ângulo de latitude. Seja $ F_G $ a força da gravidade.

Na notação vetorial, tomaremos a direção $ j $ paralela ao eixo de rotação e a direção $ i $ perpendicular ao eixo de rotação.

Na ausência da rotação da Terra,

$$ F_G = N = (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ cos \ theta) \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ sin \ theta) \ tilde {j} $$

É facilmente visto que a equação acima representa a força de gravidade percebida em a ausência de rotação. Agora, a força centrípeta atua apenas na direção i, pois atua perpendicularmente ao eixo de rotação.

Se deixarmos $ R_ {rot} $ ser o raio de rotação, então a força centrípeta é $ m_1 \ omega ^ 2R_ {rot} $, que para um ângulo de latitude de $ \ theta $ corresponde a $ m_1 \ omega ^ 2r \ cos {\ theta} $

$$ N = (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} + m_1 \ omega ^ 2r) \ cos {\ theta} \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2}) \ sin {\ theta} \ til { j} $$

Ao comparar esta equação com o caso mostrado anteriormente na ausência de rotação, é aparente que conforme $ \ theta $ é aumentado (ângulo de latitude), o efeito da rotação na gravidade percebida torna-se insignificante, uma vez que a única diferença reside no componente $ x $ e $ \ cos \ theta $ se aproxima de 0 quando $ \ theta $ se aproxima de 90 graus de latitude. No entanto, também pode ser visto que conforme teta se aproxima de 0, próximo ao equador, o componente $ x $ da gravidade é reduzido como resultado da rotação da Terra. Portanto, podemos ver que a magnitude de $ N $ é ligeiramente menor no equador do que nos pólos. A atração gravitacional aparente reduzida aqui é o que dá origem ao ligeiro protuberância da Terra no equador , visto que a Terra não era originalmente tão rígida como é hoje (veja outra resposta).

Supondo que a gravidade seja aproximadamente igual na superfície do globo, certo?
@naught101 certo - e a gravidade é igual na superfície a uma aproximação suficiente para aproximar a forma do planeta como um elipsóide achatado. Eu acho que a variação além disso daria uma excelente resposta por si só :-)
@SimonW: A página da Wikipedia da [gravidade da Terra] (https://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_on_Earth#Variation_in_gravity_and_apparent_gravity) provavelmente responde a maioria dessas questões pendentes - parece bastante abrangente.
@naught101 também, nos pólos a gravidade atua perpendicularmente à força centrípeta, pois a força gravitacional é direcionada para o centro de gravidade, enquanto a força centrípeta é direcionada para o eixo de rotação.
@hugovdberg, isso mesmo. A maior força centrípeta na mesma direção da gravidade ao longo do equador causa uma diminuição relativa em g da perspectiva de um observador em rotação no equador em comparação com um observador nos pólos. É isso que dá origem ao bojo. Fornecerei uma descrição matemática quando mathjax for adicionado.
A força não é a melhor maneira de ver isso. A energia fornece uma imagem muito melhor. A superfície da Terra está muito próxima de uma superfície de energia potencial gravitacional e centrífuga constante. A figura da Terra exemplifica o princípio da menor ação.
@DavidHammen, Eu entendo que a maioria das pessoas usa argumentos de energia, mas eu pessoalmente acredito que o argumento de força é mais intuitivo para quem não tem formação em física.
Concordo que os argumentos sobre energia raramente fornecem muitos insights para entender uma questão física (pelo menos para mim!), Uma vez que freqüentemente abordam questões como um todo sem lidar com as causas físicas: a única causa é “a energia deve ser minimizada!”. @Geodude De qualquer forma, a maneira como você explica o achatamento da Terra com forças está longe de ser completa em minha opinião (veja minha resposta e comentários a seguir). Além disso, estou perdido em seu tratamento matemático, você confundiu escalares e vetores e $ F_ {net} $ é realmente igual a $ m \ omega ^ 2r $?
@Gaialogist, Não creio que tenha misturado quaisquer escalares e vetores - você poderia apontá-los (Gmm / r ^ 2 é uma força e mw ^ 2r é uma força, ambos os quais são quantidades vetoriais)? Também sim, a força resultante para um objeto na Terra é a força centrípeta. Se a força resultante fosse maior do que centrípeta, o objeto estaria afundando na Terra. Se a força resultante fosse menor do que a centrípeta, o objeto estaria se movendo para fora da Terra - ou saltos oscilatórios momentâneos ou escapando totalmente da órbita. A gravidade é maior do que centrípeta, mas esse excesso é equilibrado pela força normal oposta à gravidade.
Para um físico, a energia fornece percepções muito melhores do que a força. Energia, não força, é a base da mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana. A energia, não a força, está no cerne da mecânica quântica e da relatividade geral.
@DavidHammen,, um bom físico não tem problemas em resolver problemas usando argumentos de energia ou argumentos de força. Um físico pode reconhecer quando uma abordagem é mais intuitiva do que outra. Em minha opinião, as leis de Newton são muito mais intuitivas do que a mecânica hamiltoniana para a física clássica, mas é claro que as leis de lagrange são mais intuitivas de usar na física quântica. Dito isso, é mais fácil resolver esse problema específico usando argumentos de energia, mas, apesar disso, mantenho a força sendo mais intuitivo para esse problema, e é por isso que usei essa abordagem.
Como a força explica ** alguma coisa ** aqui? A força gravitacional não é uniforme. Com energia e termodinâmica, é fácil. A energia potencial gravitacional em toda a superfície do é quase constante, e a razão é a segunda lei da termodinâmica.
@DavidHammen, se você olhar minha resposta, verá como a força explica a protuberância. A força gravitacional aparente é menor no equador do que nos pólos, e é por isso que, durante a formação, a Terra se projeta aqui. Talvez você pudesse desenvolver seu comentário sobre a 2ª lei da termodinâmica? http://chat.stackexchange.com/rooms/13909/earth-science
Essa força menor no equador é um efeito, não uma causa. A causa é a energia e a segunda lei da termodinâmica. (Primeira lei: Você não pode ganhar. Segunda lei: Você também não pode empatar. Terceira lei: É quanto você perderá, no mínimo.) A 2ª lei diz que se houver algum caminho para o mínimo de um sistema configuração de energia, o sistema encontrará esse caminho.
@DavidHammen, Acho que você interpretou mal minhas equações. A diminuição da gravidade no equador é uma causa, não um efeito, embora a protuberância possa levar a um aumento do raio e, portanto, à diminuição da gravidade, esse não era o meu argumento.
@DavidHammen,, a 2ª lei da termodinâmica, é a lei que determina que a entropia aumentará http://en.wikipedia.org/wiki/Second_law_of_thermodynamics. Não tenho certeza de como isso se aplica a esta situação.
Outra maneira de dizer isso: os sistemas tendem a maximizar sua entropia. Comece com um sistema isolado. Se o sistema puder se mover em direção a um estado de energia potencial inferior, isso acontecerá devido à 2ª lei. Essa diminuição na energia potencial significa um aumento na temperatura devido à conservação de energia. A entropia aumenta até que o sistema atinja sua energia potencial mínima, ponto em que a entropia é maximizada. Um sistema não isolado se moverá de maneira semelhante em direção ao seu mínimo de energia potencial, mas agora irradiará esse calor para o espaço. A entropia do universo aumenta.
#2
+15
Gaialogist
2014-04-23 14:33:48 UTC
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Na verdade, a razão pela qual a Terra não é uma esfera é dupla:

  1. a Terra está girando e está girando há muito tempo
  2. a Terra não está perfeitamente rígido, pode até ser considerado um fluido viscoso em escalas de tempo longas

Se a Terra não estivesse girando, seria uma esfera. Se a Terra tivesse começado a girar muito recentemente, ela não estaria em equilíbrio, portanto provavelmente não seria o elipsóide de revolução com o qual estamos familiarizados. Por último, mas não menos importante, se a Terra fosse perfeitamente rígida, não seria deformada por nenhum processo, incluindo a rotação, portanto, ainda teria sua forma inicial .

Podemos considerar que a Terra é um fluido em equilíbrio hidrostático (ou seja, um fluido em repouso) em cada ponto, levando em consideração tanto o efeito da gravidade quanto a (pseudo) força centrífuga devida à rotação. Então, se olharmos para a forma da superfície da Terra sob essa condição, a solução é um elipsóide de revolução. Está muito próximo da superfície real da Terra, o que é uma boa evidência de que nossa suposição inicial - fluido em rotação em equilíbrio hidrostático - é razoável para uma longa escala de tempo.

O estudo desta questão está relacionado ao famoso Equação de Clairaut a partir do nome do famoso cientista francês que publicou o tratado Théorie de la figure de la terre no final do século XVIII.

NB: se apenas explicarmos o saliência no equador referindo-se ao efeito da pseudo força centrífuga e ignorando a questão do equilíbrio hidrostático, devemos concluir que o raio polar é o mesmo com ou sem rotação. Porém, é menor: cerca de 6357 km contra 6371 km para uma Terra esférica de igual volume.

como sabemos que raio polar será de 6.371km sem rotação? 6371km é o raio médio da Terra, e é maior do que o raio polar porque a protuberância equatorial distorceu o raio na minha opinião.
Simplesmente sabemos que a Terra teria o mesmo volume (pressupõe-se incompressibilidade) e seria uma esfera se não estivesse girando, portanto, um raio polar de 6.371 km. 6371 km _não_ é o [raio médio da Terra] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+mean+radius), é como escrevi o raio de “uma Terra esférica de [volume igual ] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+volume) ”.
Antes tarde do que nunca: meu erro quanto à discussão sobre os raios da Terra. Em uma aproximação muito boa, devido ao pequeno valor do achatamento da Terra, 6.371 km é [ao mesmo tempo] (https://en.wikipedia.org/wiki/Earth_radius#Global_average_radii) (1) o raio médio aritmético, (2 ) o raio autálico ou de _área igual_ e (3) o raio volumétrico ou de _volume igual_. No entanto, isso não altera a primeira parte do meu comentário anterior: o raio polar da Terra * também é modificado pela rotação *, o que não é explicado na resposta mais votada / aceita.
#3
+7
David Hammen
2014-04-28 18:07:33 UTC
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O fato de a Terra ser aproximadamente um esferóide achatado é melhor explicado pela energia.

Coloque uma bola de gude em uma tigela. Não importa onde você o coloque, ele acabará por parar no fundo da tigela. Esta é a posição que minimiza a energia total da bola de gude sujeita à restrição de estar na tigela. Suspenda uma corrente entre dois postes. Quando a corrente parar, ela assumirá uma forma bem conhecida, a de uma curva catenária. Esta é a forma que minimiza a energia da corrente, sujeita à restrição de ser suspensa entre os dois postes.

Se você colocar a bola de gude longe do fundo, ela rolará um pouco antes de chegar a descansar. Se você puxar a corrente para longe de sua forma catenária, ela oscilará para frente e para trás por um tempo antes de descansar nessa forma estável. O mármore fora do centro e a cadeia fora do plano têm maiores energias potenciais do que em sua configuração estável. Se possível, a natureza tentará minimizar a energia potencial total. É uma consequência da segunda lei da termodinâmica.

No caso da Terra, essa configuração de energia mínima é uma superfície sobre a qual a soma das energias potenciais gravitacional e centrífuga são constantes. Algo que faça a Terra se desviar dessa superfície equipotencial resultará em um aumento dessa energia potencial. A Terra eventualmente se ajustará de volta à configuração de energia mínima. Esta superfície equipotencial seria um esferóide oblato se não fossem as variações de densidade, como crosta continental espessa e leve em um lugar, crosta oceânica fina e densa em outro.

Em termos de força, a quantidade que chamamos de g é o gradiente das energias potenciais gravitacionais e centrífugas (especificamente, $ \ vec g = - \ nabla \ Phi $). Uma vez que a superfície da Terra está muito perto de ser uma superfície equipotencial e uma vez que essa superfície, por sua vez, está muito perto de ser um esferóide achatado, a gravitação nos pólos é necessariamente um pouco mais do que no equador.

Isso a força gravitacional não será normal à superfície em locais onde a superfície se desvia da superfície equipotencial. O componente tangencial da força gravitacional resulta em lugares onde a água flui colina abaixo e em tensões e deformações na superfície da Terra. As eventuais respostas a essas forças tangenciais são erosão, inundações e, às vezes, até terremotos que eventualmente trazem a Terra de volta à sua forma de equilíbrio.


Atualização: por que esta é a imagem certa?

Com base em comentários em outros lugares, várias pessoas não entendem por que a energia, em vez da força, é a maneira certa de encarar esse problema ou como a segunda lei da termodinâmica entra em ação. / p>

Existem várias maneiras diferentes de estabelecer a segunda lei da termodinâmica. Uma é que um sistema tende a um estado que maximiza sua entropia. Por exemplo, coloque dois blocos em duas temperaturas diferentes em contato um com o outro. O bloco mais frio ficará mais quente e o bloco mais quente ficará mais frio até que os dois blocos estejam na mesma temperatura, graças à segunda lei da termodinâmica. Essa temperatura uniforme é o estado que maximiza a entropia deste sistema de dois blocos.

Esses dois blocos só possuem energia térmica. Que tal um sistema com energia mecânica diferente de zero? A fricção vai quase inevitavelmente drenar a energia cinética do sistema. Esse atrito significa que a energia mecânica do sistema diminuirá até atingir um mínimo global, se houver. Para um corpo giratório, dissipativo e autogravitante, esse mínimo global existe e é uma forma esferóide (mais ou menos) achatada.

Você tem algum exemplo de terremotos devido ao desvio da crosta da superfície equipotencial em vez de estresse tectônico? Este exemplo me parece estranho ... Outra coisa: a força gravitacional pode ser normal à superfície mesmo quando ela se desvia do geóide (e não normal mesmo quando não se desvia).
@Gaialogist - Em relação à sua segunda pergunta, o geóide é a superfície equipotencial mais próxima do nível médio do mar. Como a aceleração gravitacional é o gradiente do potencial gravitacional, o vetor de aceleração gravitacional é necessariamente normal para o geóide. Está na matemática. Aqui está uma resposta relevante em math.stackexchange.com: http://math.stackexchange.com/questions/122222/proving-gradient-of-a-scalar-field-is-perpendicular-to-equipotential-surface.
No que diz respeito à sua primeira pergunta, muitas dessas tensões tectônicas são uma consequência direta da Terra estar longe do equilíbrio hidrostático ou de uma forma de equilíbrio. Empurrar cume e puxar laje, por exemplo.
Está tudo bem que a gravidade seja normal ao geóide, mas a superfície não _tem_ que se igualar ao geóide para ter a gravidade normal sobre ele ou reciprocamente. Considere uma superfície próxima e paralela ao geóide, mas não sobreposta: ela pode ter uma gravidade normal; considere uma superfície cruzando o geóide: na linha de cruzamento as duas superfícies coincidem, mas a gravidade não é normal à superfície da Terra.
Para minha primeira pergunta, concordo com o argumento do equilíbrio para explicar qualquer movimento na (ou na) Terra. Só acho que é ousado fazer a ligação entre os componentes tangenciais do vetor da gravidade e os terremotos. Talvez este ponto de vista possa até reverter erroneamente causas e consequências (o impacto das estruturas tectônicas nas anomalias gravitacionais, não o contrário) ...


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