Questão:
Como é determinada a massa da Terra?
Kenshin
2014-04-16 10:12:33 UTC
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De acordo com o conhecimento dos livros, a massa da Terra é de cerca de $ 6 × 10 ^ {24} \, \ mathrm {kg} $. Como esse número é determinado quando não se pode apenas pesar a Terra usando escalas regulares?

Cinco respostas:
#1
+37
Mr_Green
2014-04-16 10:36:45 UTC
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De acordo com a Lei da Gravidade de Newton com base na força atrativa (força gravitacional) que duas massas exercem uma sobre a outra:

$ $ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} $$

Onde:

  • $ F $ é a força gravitacional
  • $ G = 6,67 \ vezes 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm { kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ é uma constante de proporcionalidade
  • $ M $ span> e $ m $ são as duas massas que exercem as forças
  • $ r $ span > é a distância entre os dois centros de massa.

Da segunda lei do movimento de Newton :

$$ F = ma $$

Onde:

  • $ F $ é a força aplicada a um objeto
  • $ m $ é a massa do objeto
  • $ a $ é a sua aceleração devido à força.

Equacionando ambas as equações :

$$ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} = ma $$

$$ \ frac {GM} {r ^ 2} = a $$ (O $ m $ foi cancelado.)

Agora resolva para $ M $ , a massa da Terra.

$$ M = \ frac { ar ^ 2} {G} $$

Onde $ a = 9,8 \ \ mathrm {m} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ , $ r = 6,4 \ times 10 ^ 6 \ \ mathrm {m} $ e $ G = 6,67 \ times 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm {kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ .

$$ M = 9,8 \ vezes (6,4 \ vezes 10 ^ 6) ^ 2 / (6,67 \ vezes 10 ^ {- 11}) \ \ mathrm {kg} $$


Portanto,

$ M = 6,0 \ vezes 10 ^ {24} \ \ mathrm {kg} $

Mew, existe um dos melhores textos da história da ciência, intitulado Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, no qual a lei da gravitação foi desenvolvida a partir de F = MA.
Você deve deixar claro que r na equação geral é a distância entre os centros de gravidade dos objetos (uma força gravitacional atua também em um objeto na superfície da Terra, embora a distância entre o objeto e a Terra seja 0). Além disso, na minha opinião, expressar os expoentes ao quadrado como por exemplo `r ^ 2` em vez de` r2` é mais claro, pois evita ambigüidade (você quer dizer `r * r` ou` r * 2`?). Além disso, é uma boa resposta :-)
Eu sinto que essa resposta precisa pelo menos reconhecer como poderíamos determinar a e G
#2
+34
David Hammen
2014-04-24 17:40:45 UTC
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Observação: atualizei esta resposta para incluir uma descrição das técnicas históricas.

Técnicas históricas

Newton desenvolveu sua teoria da gravitação principalmente para explicar os movimentos dos corpos que formam o sistema solar. Ele também percebeu que, embora a gravidade faça a Terra orbitar o Sol e a Lua orbitar a Terra, ela também é responsável pela queda de maçãs das árvores. Tudo atrai tudo o mais, gravitacionalmente. Isso sugeriu que se poderia, em teoria, medir a atração gravitacional entre um par de pequenas esferas. O próprio Newton percebeu isso, mas não achou que fosse muito prático. Certamente não duas pequenas esferas (Newton 1846):

Donde uma esfera de um pé de diâmetro e de natureza semelhante à da terra atrairia um pequeno corpo colocado perto de sua superfície com uma força 20000000 vezes menos do que a Terra faria se fosse colocada perto de sua superfície; mas uma força tão pequena não poderia produzir nenhum efeito perceptível. Se duas dessas esferas estivessem distantes apenas por 1 polegada, elas não iriam, mesmo em espaços sem resistência, se unir pela força de sua atração mútua em menos de um mês; e menos esferas se juntarão em uma taxa ainda mais lenta, ou seja, na proporção de seus diâmetros.

Talvez uma montanha?

Não, montanhas inteiras vão não ser suficiente para produzir qualquer efeito sensível. Uma montanha de figura hemisférica, com três milhas de altura e seis de largura, não irá, por sua atração, desviar o pêndulo dois minutos da perpendicular verdadeira: e é apenas nos grandes corpos dos planetas que essas forças devem estar percebido, ...

A ideia de Newton sobre a impraticabilidade de tais medidas minúsculas se revelaria incorreta. Mal sabia Newton que a revolução científica que ele próprio ajudou a impulsionar tornaria essas medições tão minúsculas possíveis.


Pesando a Terra usando montanhas

A primeira tentativa de "pesar a Terra" foi feita durante a missão geodésica francesa ao Peru por Pierre Bouguer, Charles Marie de La Condamine e Louis Godin. Sua missão principal era determinar a forma da Terra. A Terra tinha uma protuberância equatorial, conforme previsto por Newton? (Os franceses enviaram uma equipe diferente à Lapônia para realizar o mesmo objetivo.) Bouguer usou a viagem como uma oportunidade para testar a sugestão de Newton de que uma montanha desviaria um prumo do normal pesquisado. Ele escolheu Chimborazo como a montanha em questão. Infelizmente, as medições resultaram completamente erradas. O prumo foi desviado, mas na direção errada. Bouguer mediu um ligeiro desvio para longe da montanha (Beeson, página da web).

A próxima tentativa foi o experimento Schiehallion. Ao pesquisar a linha Mason-Dixon, Charles Mason e Jeremiah Dixon descobriram que ocasionalmente suas calibrações simplesmente não podiam ser feitas para concordar entre si. A causa era que seus prumos ocasionalmente se desviavam do normal pesquisado. Essa descoberta levou ao experimento Schiehallion conduzido por Nevil Maskelyne. Ao contrário de Bouguer, Maskelyne obteve um resultado positivo, uma deflexão de 11,6 segundos de arco, e na direção certa. As deflexões observadas levaram Maskelyne a concluir que a densidade média da Terra é 4,713 vezes a da água (von Zittel 1914).

Acontece que a ideia de Newton de usar uma montanha é fundamentalmente falha. Outros tentaram repetir esses experimentos usando outras montanhas. Muitos mediram uma deflexão negativa, assim como Bouguer. Há um bom motivo para isso. Pela mesma razão que vemos apenas uma pequena parte de um iceberg (a maior parte está debaixo d'água), vemos apenas uma pequena parte de uma montanha. A maior parte da montanha está dentro da Terra. Uma enorme montanha isolada deve fazer um prumo se desviar da montanha.


Pesando a Terra usando pequenas massas

Então, se usar montanhas é duvidoso, o que isso diz sobre a dúvida de usar pequenas massas que levariam meses para se aproximarem umas das outras, mesmo se separadas por meros centímetros?

Isso acabou sendo muito boa ideia. Essas pequenas massas são controláveis ​​e suas massas podem ser medidas com um alto grau de precisão. Não há necessidade de esperar até que eles colidam. Simplesmente meça a força que eles exercem um sobre o outro.

Essa ideia foi a base para o experimento Cavendish (Cavendish 1798). Cavendish usou duas esferas de chumbo pequenas e duas grandes. As duas pequenas esferas foram penduradas em extremidades opostas de um braço horizontal de madeira. O braço de madeira, por sua vez, estava suspenso por um arame. As duas grandes esferas foram montadas em um dispositivo separado que ele poderia girar para trazer uma grande esfera muito perto de uma pequena esfera. Essa separação próxima resultou em uma força gravitacional entre as esferas pequenas e grandes, que por sua vez fez com que o fio que segurava o braço de madeira se torçasse. A torção no fio atuou para contrabalançar essa força gravitacional. Eventualmente, o sistema se estabilizou em um estado de equilíbrio. Ele mediu a torção observando o desvio angular do braço em relação ao seu estado não torcido. Ele calibrou essa torção por um conjunto diferente de medições. Finalmente, ao pesar essas esferas de chumbo, Cavendish foi capaz de calcular a densidade média da Terra.

Observe que Cavendish não mediu a constante gravitacional universal G. Não há menção de uma constante gravitacional no artigo de Cavendish. A noção de que Cavendish mediu G é um pouco de revisionismo histórico. A notação moderna da lei da gravitação universal de Newton, $ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} $, simplesmente não existia na época de Cavendish. Somente 75 anos após os experimentos de Cavendish, a lei da gravitação universal de Newton foi reformulada em termos da constante gravitacional G. Os cientistas da época de Newton e Cavendish escreveram em termos de proporcionalidades, em vez de usar uma constante de proporcionalidade.

A intenção do experimento de Cavendish era "pesar" a Terra, e foi exatamente isso que ele fez.


Técnicas modernas

Se a Terra fosse esférica, se não houvesse outros efeitos perturbadores, como a aceleração gravitacional em direção à Lua e ao Sol, e se a teoria da gravitação de Newton estivesse correta, o período de um pequeno satélite orbitando a Terra é dado pela terceira lei de Kepler: $ \ left (\ frac T {2 \ pi} \ right) ^ 2 = \ frac {a ^ 3} {GM_E} $. Aqui $ T $ é o período do satélite, $ a $ é o semi-eixo maior do satélite (raio orbital), $ G $ é a constante gravitacional universal e $ M_E $ é a massa da Terra.

A partir disso, é fácil resolver para o produto $ G M_E $ se o período $ T $ e o raio orbital $ a $ são conhecidos: $ G M_E = \ left (\ frac {2 \ pi} T \ right) ^ 2 a ^ 3 $. Para calcular a massa da Terra, tudo o que se precisa fazer é dividir por $ G $. Mas há um problema. Se o produto é $ G M_E $ é conhecido com alto grau de precisão (e é), dividir por $ G $ perderá muita precisão porque a constante gravitacional $ G $ só é conhecida com quatro casas decimais de precisão. Essa falta de conhecimento de $ G $ atrapalha inerentemente qualquer medição precisa da massa da Terra.

Eu coloquei muitas advertências neste cálculo:

  • A Terra não está é esférico. A Terra é melhor modelada como um esferóide oblato. Essa protuberância equatorial perturba as órbitas dos satélites (assim como os desvios do modelo esferóide achatado).
  • A Terra não está sozinha no universo. A gravidade da Lua e do Sol (e outros planetas) perturba as órbitas dos satélites. O mesmo acontece com a radiação do Sol e da Terra.
  • A teoria da gravitação de Newton é apenas aproximadamente correta. A teoria da relatividade geral de Einstein fornece um modelo melhor. Desvios entre as teorias de Newton e Einstein tornam-se observáveis, dadas medidas precisas ao longo de um longo período de tempo.

    Essas perturbações precisam ser levadas em consideração, mas a idéia básica ainda permanece: é possível "pesar a Terra" observando com precisão um satélite por um longo período de tempo. O que é necessário é um satélite especialmente adequado para esse fim. Aqui está:

    !LAGEOS

    Este é o LAGEOS-1, lançado em 1976. Um gêmeo idêntico, o LAGEOS-2, foi implantado em 1992. Eles são extremamente satélites simples. Eles não têm sensores, efetores, equipamentos de comunicação ou eletrônicos. Eles são satélites completamente passivos. São apenas bolas sólidas de latão de 60 cm de diâmetro, cobertas por retrorrefletores.

    Em vez de fazer com que o satélite faça medições, as pessoas no solo apontam lasers para os satélites. O fato de os satélites estarem cobertos por retrorrefletores significa que parte da luz laser que atinge um satélite será refletida de volta para a fonte. O tempo preciso do atraso entre a emissão e a recepção da luz refletida fornece uma medida precisa da distância ao satélite. Medir com precisão a mudança de frequência entre o sinal transmitido e o sinal de retorno fornece uma medida precisa da taxa na qual a distância está mudando.

    Ao acumular essas medições ao longo do tempo, os cientistas podem determinar com precisão as órbitas desses satélites, e disso eles podem "pesar a Terra". A estimativa atual do produto $ G M_E $ é $ G M_E = 398600,4418 \ pm 0,0009 \ \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $. (NIMA 2000). Esse pequeno erro significa que a precisão é de 8,6 casas decimais. Quase todo o erro na massa da Terra virá da incerteza em $ G $.

    Referências

    M. Beeson, "Bouguer não consegue pesar a Terra" (página da web)

    H. Cavendish, "Experiments to determine the Density of the Earth," Phil. Trans. R. Soc. Londres, 88 (1798) 469-526

    I. Newton (traduzido por A. Motte), Principia, The System of the World (1846)

    NIMA Technical Report TR8350.2, "Department of Defense World Geodetic System 1984, Its Definition and Relationships with Local Geodetic Systems", Terceira edição, janeiro de 2000

    K. von Zittel (traduzido por M. Ogilvie-Gordon), "História da Geologia e Paleontologia até o Fim do Século XIX" (1914)

Boa resposta. Eu sabia que o método moderno usaria satélites, mas não conhecia os detalhes.
#3
+15
hugovdberg
2014-04-16 10:35:36 UTC
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A massa da Terra pode ser determinada pelo chamado experimento Cavendish. Henry Cavendish usou um aparelho para determinar a constante gravitacional G que aparece na equação completa para a força gravitacional:

$$ F = {Gm_1m_2 \ over R ^ 2} $$

onde $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas de dois objetos, $ R $ a distância entre os centros de gravidade dos objetos e $ G $ a constante gravitacional (aproximadamente $ 6,674 \ vezes 10 ^ {- 11} \ mathrm {N ~ m ^ 2 ~ kg ^ {- 2}} $).

Como o diâmetro da Terra é conhecido, bem como a constante gravitacional, determinar a força gravitacional em um objeto com massa conhecida nos dá a massa do objeto que exerce essa força (portanto, a Terra).

#4
+12
winwaed
2014-04-16 19:55:08 UTC
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Cavendish pode ter usado uma abordagem mais direta, mas Neville Maskelyn fez isso antes no Experimento Schiehallion - publicado em 1778. Muito mais uma história do Iluminismo envolvendo dinheiro que sobrou da expedição de Cook para observar o Trânsito de Vênus; Mason & Dixon; e até Benjamin Franklin estava envolvido no planejamento inicial.

Schiehallion é uma montanha simétrica e relativamente isolada na Escócia. Medindo a forma (e inventando linhas de contorno no processo!), É possível calcular o volume. A partir da amostragem de rocha, você pode calcular a massa da montanha. Olhando para a deflexão do pêndulo, você pode calcular a razão entre a massa da Terra e a massa de Schiehallion.

Usando um modelo digital moderno de terreno e modelos geológicos, as medições do pêndulo de Maskelyn fornecem um resultado que concorda com a corrente valor aceito de G (ou M - eles são os dois lados da mesma moeda).

Como um aparte, eu subi a montanha cerca de 18 meses atrás. Se o tempo estiver bom, você terá uma vista maravilhosa, pois não há montanhas tão próximas (o que também interfere nas medições).

#5
+10
Neo
2014-04-16 10:37:39 UTC
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A maneira mais fácil é usar um gravímetro de um satélite e resolver a famosa equação da lei do inverso do quadrado que Newton criou há séculos.

Outra maneira, que pode ser um exercício valioso (eu tinha fazer isso em uma aula de geofísica de terra sólida) é assumir uma terra de 4 camadas (crosta, manto, núcleo externo, núcleo interno). Use dados sísmicos não apenas para obter as profundidades de cada camada (por meio de reflexões S / P), mas também as densidades de cada camada por meio de velocidades sísmicas. Você pode assumir densidades homogêneas para cada "concha" e encontrar a massa usando a circunferência da Terra (e, portanto, o diâmetro).

Você também pode resolvê-lo usando as leis kepler / newton do movimento planetário, se você souber a distância entre dois corpos (Terra e lua / Terra e Sol).

Ou seja, existem muitas maneiras pelas quais a lei da gravidade de Newton nos dá uma boa aproximação para a massa da Terra.

* A maneira mais fácil é usar um gravímetro de um satélite *. Você tem uma ideia incomum da palavra “fácil”.
Acho muito difícil colocar esse satélite em órbita e até construir o gravímetro, mas usar esse gravímetro (dados já coletados) está a um URL de distância. http://topex.ucsd.edu/WWW_html/bkgrd.html
Isso não vai funcionar de jeito nenhum! Os gravímetros não medem a gravidade. Eles medem a força normal para cima exercida pelo solo que impede o gravímetro de afundar na Terra. Uma vez que o gravímetro é estacionário, a medição da força ascendente atua como um substituto para a gravitação. Um satélite está em queda livre. Um gravímetro em um satélite medirá * zero * (ou próximo a zero se estiver em uma órbita baixa da Terra). Um par de gravímetros em um satélite pode medir o gradiente de gravidade; essa é a base do satélite GOCE (ele tinha três pares). Mas isso precisa de um modelo básico para a gravidade da Terra.


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